Rozpatrzmy algorytm solwera frontalnego na następującym przykładzie. Załóżmy iż stosujemy izogeometryczną metodę elementów skończonych dla trzech elementów jednowymiarowych, dla kwadratowych funkcji B-spline. Mamy więc pięć funkcji B-spline rozpiętych na trzech elementach.
Macierze elementowe dla izogeometrycznej metody elementów skończonych, tak jak opisano to rozdziale pierwszym, zawierają interakcje pomiędzy segmentami B-spline'ów rozpostartych na pojedynczym przedziale - elemencie skończonym
\( \begin{bmatrix} \int_0^1{B_1(x)B_1(x)dx} & \int_0^1{B_1(x)B_2(x)dx } & \int_0^1{B_1(x)B_3(x)dx} \\ \int_0^1{B_2(x)B_1(x)dx} & \int_0^1{B_2(x)B_2(x)dx } & \int_0^1{B_2(x)B_3(x)dx } \\ \int_0^1{B_3(x)B_1(x)dx} & \int_0^1{B_3(x)B_2(x)dx} & \int_0^1{B_3(x)B_3(x)dx } \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & \frac{13}{120} & \frac{1}{120} \\ \frac{13}{120} & \frac{9}{20} & \frac{13}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \)
Dla siatki zbudowanej z czterech elementów, macierz globalna wygląda następująco:
\( \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & \frac{13}{120} & \frac{1}{120} & \cdots \\ \frac{13}{120} & \frac{9}{20} +\color{red}{\frac{1}{20}}& \frac{13}{120} + \color{red}{\frac{13}{120}} & \color{red}{\frac{1}{120}} & \cdots \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} +\color{red}{\frac{13}{120}} & \frac{1}{20} +\color{red}{\frac{9}{20}} +\color{blue}{\frac{1}{20}} & \color{red}{\frac{13}{120}} +\color{blue}{\frac{13}{120}} & \color{blue}{\frac{1}{120}} & \cdots \\ \cdots & \color{red}{\frac{1}{120}} & \color{red}{\frac{13}{120}} +\color{blue}{\frac{13}{120}} & \color{red}{\frac{1}{20}}+\color{blue}{\frac{9}{20}} +\color{green}{\frac{1}{20}} & \color{blue}{\frac{13}{120}} +\color{green}{\frac{13}{120}} & \color{green}{\frac{1}{120}} \\ & \cdots & \color{blue}{\frac{1}{120} } & \color{blue}{\frac{13}{120}} +\color{green}{\frac{13}{120}} & \color{blue}{\frac{1}{20} } + \color{green}{\frac{9}{20}} & \color{green}{\frac{13}{120} } \\ & & \cdots & \color{green}{\frac{1}{120}} & \color{green}{\frac{13}{120}} & \color{green}{\frac{1}{20} }\\ \end{bmatrix} \)
Algorytm solwera frontalnego generuje macierze elementowe jedną po drugiej i dodaje je do globalnej macierzy, eliminując w pełni zagregowane wiersze.
W pierwszym kroku nasza macierz elementowa wygląda więc w sposób następujący:
\( \begin{bmatrix} & B1(x) & B2(x) & B3(x) \\ B1(x) & \frac{1}{20} & \frac{13}{120} & \frac{1}{120} \\B2(x) & \frac{13}{120} & \frac{9}{20} & \frac{13}{120} \\ B3(x) & \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \)
Dla lepszej ilustracji działania algorytmu pozostawimy liczby w postaci ułamkowej, pamiętając oczywiście że w komputerze przechowywane są one w postaci zmiennoprzecinkowej.
Na pierwszym elemencie jesteśmy w stanie wyeliminować pierwszy wiersz, który zawiera segment pierwszego B-spline'a który został przycięty do brzegu naszej siatki. Dokonujemy więc eliminacji pierwszego wiersza.
Skalujemy pierwszy wiersz tak by uzyskać jedynkę na przekątnej
\( \begin{bmatrix}\frac{1}{20}{\color{red}*20} & \frac{13}{120}{\color{red}*20} & \frac{1}{120}{\color{red}*20} \\\frac{13}{120} & \frac{9}{20} & \frac{13}{120} \\\frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1{\color{red}*20} \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}{\color{red}1} & {\color{red}\frac{13}{6}} & {\color{red}\frac{1}{6}} \\\frac{13}{120} & \frac{9}{20} & \frac{13}{120} \\\frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \nonumber\\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\color{red}20} \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \)
Ponieważ pierwszy wiersz jest w pełni wygenerowany, możemy go wyeliminować (uruchomić eliminację Gassua która odejmuje ten wiersz od pozostałych wierszy dostępnych w macierzy). Jest tak dlatego, iż nawet jeśli następne wiersze nie są w pełni wygenerowane, to możemy od nich odejmować pierwszy wiersz. Gdy będziemy generować resztę tych niewygenerowanych wierszy, to dodamy do nich brakujące wyrazy. Ponieważ dodawanie i odejmowanie wierszy jest przemienne, możemy najpierw odjąć w pełni wygenerowany wiersz, a potem dodać brakującą resztę do tych wierszy.
\( 2^{nd}=2^{nd}-1^{st}*A(2,1)=2^{nd}-1^{st}*13/120 \)
\( \begin{bmatrix}{\color{red}1} & {\color{red}\frac{13}{6}} & {\color{red}\frac{1}{6}} \\\frac{13}{120}{\color{red}-1\frac{13}{120}} & \frac{9}{20}{\color{red}-\frac{13}{6}\frac{13}{120}} & \frac{13}{120}{\color{red}-\frac{1}{6}\frac{13}{120}} \\\frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\color{red}20} \\ 1{\color{red}-20\frac{13}{120}} \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}1 & \frac{13}{6} & \frac{1}{6} \\{\color{red}0} & {\color{red}\frac{31}{144}} & {\color{red}\frac{13}{144}} \\\frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ {\color{red}-\frac{7}{6}} \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( 3^{rd}=3^{rd}-1^{st}*A(3,1)=3^{rd}-1^{st}1/120 \)
\( \begin{bmatrix}1 & \frac{13}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{31}{144} & \frac{13}{144} \\\frac{1}{120}{\color{red}-1\frac{1}{120}} & \frac{13}{120}{\color{red}-\frac{31}{144}\frac{1}{120}} & \frac{1}{20}{\color{red}-\frac{13}{144}\frac{1}{120}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}20 \\ -\frac{7}{6} \\ 1{\color{red}-20\frac{1}{120}} \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}1 & \frac{13}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{31}{144} & \frac{13}{144} \\{\color{red}0} & {\color{red}\frac{1841}{17280}} & {\color{red}\frac{864}{17280}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ -\frac{7}{6} \\ {\color{red}\frac{5}{6}} \end{bmatrix} \)
W tym momencie nie jesteśmy w stanie wyeliminować drugiego wiersza, ponieważ wszystkie B-spline'y które w nim występują, są również rozpięte na drugim elemencie.
Nie możemy więc pomnożyć drugiego wiersza przez wartość z kolumny ponieważ opuścilibyśmy pozostałą część wiersza (nie przemnożymy części wiersza która nie została jeszcze wygenerowana). Musimy więc wygenerować macierz drugiego elementu
\( \begin{bmatrix}{\color{red}\frac{1}{20}} & {\color{red}\frac{13}{120}} & {\color{red}\frac{1}{120}}\\{\color{red}\frac{13}{120}} & {\color{red}\frac{9}{20}} & {\color{red}\frac{13}{120}} \\ {\color{red}\frac{1}{120}} & {\color{red}\frac{13}{120}} & {\color{red}\frac{1}{20}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}1} \\ {\color{red}1} \end{bmatrix} \)
i dodać ją do części sfaktoryzowanej już macierzy pierwszego elementu.
\( \begin{bmatrix}1 & \frac{13}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{31}{144}{\color{red}+\frac{1}{20}} & \frac{13}{144} {\color{red}+\frac{13}{120}}& {\color{red}\frac{1}{120}} \\ 0 & \frac{1841}{17280}{\color{red}+\frac{13}{120}} & \frac{864}{17280}{\color{red}+\frac{9}{20}} & {\color{red}\frac{13}{120}}\\ 0 & {\color{red}\frac{1}{120}} & {\color{red}\frac{13}{120}} & {\color{red}\frac{1}{20}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -\frac{7}{6}{\color{red}+1} \\ \frac{5}{6}{\color{red}+1} \\ {\color{red}1} \end{bmatrix} \)
W macierzy tej możemy już zostawić pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę w spokoju, ponieważ zostały one już zfaktoryzowane (pierwszy wiersz został odjęty od pozostałych wierszy, a w pierwszej kolumnie pod przekątną są same zera)
\( \begin{bmatrix}\frac{119}{720} & -\frac{13}{2160} & \frac{1}{120} \\\frac{3713}{17280} & \frac{143}{720} & \frac{13}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6} \\ \frac{11}{6} \\ 1 \end{bmatrix} \)
W tym momencie, ponownie, pierwszy wiersz jest w pełni wygenerowany, więc możemy go wyeliminować, natomiast kolejne wiersze czekają na dogenerowanie pozostałej części, która związana jest z faktem iż funkcje bazowe B-spline rozpościerają się na kolejnych elementach i przecinają się (mają wspólne nośniki dziedzin funkcji) z innymi kolejnymi funkcjami B-spline, które występują na kolejnych elementach.
Eliminujemy więc pierwszy wiersz w naszej macierzy frontalnej
\( 1^{st}=1^{st}\frac{720}{119} \)
\( \begin{bmatrix}\frac{119}{720}{\color{red}\frac{720}{119}} & -\frac{13}{2160}{\color{red}\frac{720}{119}} & \frac{1}{120}{\color{red}\frac{720}{119}} \\\frac{3713}{17280} & \frac{143}{720} & \frac{13}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6}{\color{red}\frac{720}{119}} \\ \frac{11}{6} \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}-\frac{13}{357}} & {\color{red}\frac{6}{119}} \\ \frac{3713}{17280} & \frac{143}{720} & \frac{13}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\color{red}-\frac{120}{119}} \\ \frac{11}{6} \\ 1 \end{bmatrix} \)
Eliminujemy teraz pierwszy wiersz odejmując go od nie w pełni zsumowanych wierszy drugiego i trzeciego. Pierwsza kolumna jest w pełni zsumowana, więc możemy w niej wygenerować zera.
\( 2^{nd}=2^{nd}-1^{st}\frac{3713}{17280} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} \\ \frac{3713}{17280}{\color{red}-1\frac{17280}{3713}} & \frac{143}{720}{\color{red}-\frac{13}{357}\frac{17280}{3713}} & \frac{13}{120}{\color{red}-\frac{6}{119}\frac{17280}{3713}} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{120}{119} \\ \frac{11}{6}{\color{red}+\frac{120}{119}\frac{3713}{17280}} \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} \\{\color{red}0} & {\color{red}\frac{9270521}{318129840}} & {\color{red}-\frac{6697589}{53021640}} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{120}{119} \\ {\color{red}\frac{35129}{17136}} \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( 3^{rd}=2^{rd}-1^{st}\frac{1}{120} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} \\0 & \frac{9270521}{318129840} & -\frac{6697589}{53021640} \\ \frac{1}{120}{\color{red}-1\frac{1}{120}} & \frac{13}{120}{\color{red}+\frac{13}{357}\frac{1}{120}} & \frac{1}{20}{\color{red}-\frac{6}{119}\frac{1}{120}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{120}{119} \\ \frac{35129}{17136} \\ 1{\color{red}+\frac{120}{119}\frac{1}{120}} \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} \\0 & \frac{9270521}{318129840} & -\frac{6697589}{53021640} \\ {\color{red}0} & {\color{red}\frac{2327}{21420}} & {\color{red}\frac{59}{1190}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{120}{119} \\ \frac{27703}{17136} \\ {\color{red}\frac{120}{119}} \end{bmatrix} \)
Wyeliminowaliśmy więc pierwszy wiersz, i pozostałych wierszy nie możemy już wyeliminować ponieważ nie są one w pełni zsumowane (funkcje B-spline związane z tymi wierszami mają pozostałe cześci na innych elementach) nie możemy więc pomnożyć ich przez wartość z kolumny ponieważ opuścili byśmy pozostałą część wierszy (nie przemnożymy części wierszy która nie została jeszcze wygenerowana).
W naszym przykładzie generujemy więc macierz elementową (wraz z prawą stroną) związaną z ostatnim trzecim elementem
\( \begin{bmatrix} {\color{blue}\frac{1}{20}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{120}}\\ {\color{blue}\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{9}{20}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} \\{\color{blue}\frac{1}{120}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{20}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{3} \\ u_{4} \\ u_{5} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{blue}1} \\ {\color{blue}1} \\ {\color{blue}1} \end{bmatrix} \)
i dodajemy go do naszej macierzy frontalnej
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} & 0 \\ 0 & \frac{9270521}{318129840}{\color{blue}+\frac{1}{20}} & -\frac{6697589}{53021640} {\color{blue}+\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{120}}\\ 0 & \frac{2327}{21420}{\color{blue}+\frac{13}{120}} & \frac{59}{1190}{\color{blue}+\frac{9}{20}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} \\ 0 & {\color{blue}\frac{1}{120}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{20}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ u_{5} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{120}{119} \\ \frac{27703}{17136}{\color{blue}+1} \\ \frac{120}{119}{\color{blue}+1} \\ {\color{blue}1} \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{13}{357} & \frac{6}{119} & 0 \\ 0 & \frac{9270521}{318129840}{\color{blue}+\frac{1}{20}} & -\frac{6697589}{53021640} {\color{blue}+\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{120}}\\ 0 & \frac{2327}{21420}{\color{blue}+\frac{13}{120}} & \frac{59}{1190}{\color{blue}+\frac{9}{20}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} \\ 0 & {\color{blue}\frac{1}{120}} & {\color{blue}\frac{13}{120}} & {\color{blue}\frac{1}{20}} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4} \\ u_{5} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{120}{119} \\ \frac{27703}{17136}{\color{blue}+1} \\ \frac{120}{119}{\color{blue}+1} \\ {\color{blue}1} \end{bmatrix} \)
W macierzy tej możemy już zostawić pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę w spokoju, ponieważ zostały one już zfaktoryzowane (pierwszy wiersz został odjęty od pozostałych wierszy, a w pierwszej kolumnie pod przekątną są same zera)
\( \begin{bmatrix} \frac{25177013}{318129840} & -\frac{953578}{53021640} & \frac{1}{120} \\ \frac{1859}{8568} & \frac{1189}{23800} & \frac{13}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{13}{120} & \frac{1}{20} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{3} \\ u_{4} \\ u_{5}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{44839}{17136}\\ \frac{239}{119} \\ 1 \end{bmatrix} \)
Jest to ostatnia macierz dla algorytmu, co więcej jest ona gęsta, możemy więc uruchomić algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem żeby ją rozwiązać, dokonać podstawiania wstecz, żeby rozwiązać pozostałe równania.